Definición de Parábola (en Matemáticas)

Cuando un cono recto es intersectado con un plano paralelo a la generatriz del cono, el resultado es una parábola. Este hecho ya era conocido por los griegos y fue estudiado por Apolonio. Ha sido útil para explicar la trayectoria de proyectiles, predecir en cuánto tiempo tardará en caer un cuerpo en caída libre y en economía es usada para saber en qué momento se alcanza un ingreso máximo o un costo mínimo. La parábola también se ha usado en el diseño de radio telescopios y calentadores solares.

Marco Antonio Rodríguez Andrade | Dic. 2022
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias

Dada una recta \(\mathcal{L}\) en el plano, a la cual llamaremos Directriz de la Parábola y un punto \(F\) fuera de la directriz, al cual llamaremos Foco; la parábola con foco en \(F\) y directriz \(\mathcal{L}\), es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya distancia al punto F es igual a su distancia a la directriz, es decir:
\(PF = d\left( {\mathcal{L},P} \right)\)

El Eje Focal de la parábola es la recta perpendicular a la directriz \(\mathcal{L}\) y que pasa por el foco \(F\).

Construcción de la parábola con regla y compás

Dada una directriz \(\mathcal{L}\) y un foco \(F\) de una parábola podemos construir varios puntos que pertenezcan a esta parábola; para ello es suficiente con realizar los siguientes pasos.

Situación inicial

Trazar el eje focal de la parábola, es decir, una perpendicular a la directriz \(\mathcal{L}\) y que pase por el foco \(F\).

Sea \(Q\) la intersección del eje focal con la directriz. Se tiene que el punto medio del segmento \(\overline {QF} \) es un punto de la parábola al cual llamaremos Vértice de la parábola y la denotaremos con \(V.\)

Sobre el eje focal se ponen varios puntos \({A_1},\;{A_2},\;{A_3},{A_4}\), etc. y por ellos se trazan rectas paralelas a la directriz. Es conveniente que uno de esos puntos sea el foco de la parábola.

Con el compás se traza un arco de circunferencia con centro en el foco \(F\) y radio \(Q{A_1}\); las intersecciones del arco recién trazado con la recta paralela a la directriz que pasa por \({A_1},\) son puntos sobre la parábola con foco en \(F\) y directriz \(\mathcal{L}\).

Se tiene que \(F{P_1} = Q{A_1}\) y el cuadrilátero \(RQ{A_1}{P_1}\) es un rectángulo por lo cual \(R{P_1} = Q{A_1}\):

\(d\left( {\mathcal{L},{P_1}} \right) = R{P_1} = QA\_1 = F{P_1}\)

De donde se concluye que el punto \({P_1}\) es un punto sobre la parábola con foco en \(F\) y directriz \(\mathcal{L}\).

Con el compás se traza un arco de circunferencia con centro en el foco \(F\) y radio \(Q{A_2}\); las intersecciones del arco recién trazado con la recta paralela a la directriz que pasa por \({A_2},\) son puntos sobre la parábola con foco en \(F\) y directriz \(\mathcal{L}\)

De manera similar se procede para los demás puntos sobre el eje focal

Al unir los puntos se obtiene el esbozo de una parábola

Elementos y características de la parábola de la parábola

La siguiente figura muestra otros elementos importantes de la parábola, además del foco, directriz y eje focal.

Un segmento que une dos puntos de una parábola se llama cuerda, como por ejemplo el segmento \(\overline {AB} ,\;\) una cuerda que pasa por el foco de la parábola es llamada cuerda focal, como el segmento \(\overline {CD} \) y la cuerda focal que es perpendicular al eje focal es llamado lado recto de la parábola, en este caso es el segmento .

Características de la parábola

Denotaremos con \(p\) a la longitud del segmento \(\overline {VF} \), es decir:

\(p = VF.\)

Con lo anterior tendremos lo siguiente

\(d\left( {\mathcal{L},P} \right) = QF = 2VF = 2p\)

\(RR' = 2FR = 2FQ = 2\left( {2p} \right) = 4p\)

Lo anterior establece que la longitud del lado de una parábola es igual a cuatro veces la distancia del foco al vértice, de manera equivalente al doble de la distancia entre el foco y la directriz de la parábola.

Los puntos \(P\) y son puntos de la parábola y el punto \(A\) es el punto medio del segmento \(\overline {PP} \)’, lo anterior nos lleva a concluir que \(P\) y . son simétricos con respecto al eje focal de la parábola. Como lo anterior ocurre para todos los puntos de la parábola podemos concluir que la parábola es simétrica y su eje de simetría es su eje focal.

Para cuestiones de diseño, basta con establecer, de antemano, la posición del foco y del vértice para definir todos los puntos de la parábola. La figura 3 muestra una de las características de la parábola que es aprovechada en el diseño de radios telescopios y en las estufas solares.

Cuando un rayo incide en un objeto con forma de parábola y lo hace de tal manera que sigue una trayectoria paralela al eje foco, se reflejará de tal modo que pasará por el foco. Debido a esta propiedad es que los radio telescopio tienen forma parabólica porque las señales se concentran en el foco y es por eso por lo que es el lugar apropiado para la antena receptora. Algo parecido sucede con una estufa solar, donde los rayos del sol se concentran en el foco.

De manera análoga, si un faro tiene una forma parabólica; al colocar una fuente de luz en el foco de la parábola, éstos se reflejarán de tal modo que los rayos saldrán paralelos al eje focal.

 
 
 
 
Por: Marco Antonio Rodríguez Andrade. Licenciatura en Física y Matemáticas, con Maestría en Matemáticas, ambos por la ESFM, y doctorado en Ciencias por la UNAM.
Art. actualizado: Dic. 2022; sobre el original de octubre, 2009.
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Rodríguez Andrade, M. A. (Dic. 2022). Definición de Parábola (en Matemáticas). Definición ABC. Desde https://www.definicionabc.com/general/parabola.php
 
 
 
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