Definición de Hipérbola

Marco Antonio Rodríguez Andrade
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias

La hipérbola es una de las cónicas que se ha estudiado desde la época de los griegos, se ha aplicado en el diseño de engranes, y de edificios modernos con fines estéticas y funcionales. Cuando un cono recto es intersectado con un plano con un ángulo menor al ángulo entre el eje de simetría del cono y su generatriz, el resultado es una Hipérbola, este hecho, ya era conocido por los griegos y fue estudiado por Apolonio.

Dados dos puntos fijos \({F_1}\) y \({F_2}\), a los cuales llamaremos Focos de la Hipérbola y una constante \(k > 0\); la Hipérbola con focos en los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\), es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas distancias a los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) es igual a una constante \(k\), es decir:

\(\left| {P{F_1} – P{F_2}} \right| = k\)

Construcción de la elipse con regla y compás

Dados dos puntos fijos \({F_1}\) , \({F_2}\) y una constante \(k > 0\) podemos construir varios puntos que pertenezcan a la elipse que cumpla:

\(P{F_1} + P{F_2} = k;\)

Para ello es suficiente con realizar los siguientes pasos.

Situación inicial

Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_1}\) y \(P_1^\prime \).

La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_2}{P_1} – {F_1}{P_1} = k\)

\({F_2}P{^\prime_1} – {F_1}P{^\prime_1} = k\)

Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_1}\) y \(Q_1^\prime \)

Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_2}\) y \(P_2^\prime \).

La manera en que se eligieron los radios se garantiza:

\({F_2}{P_2} – {F_1}{P_2} = k\)

\({F_2}P{^\prime_2} – {F_1}P{^\prime_2} = k\)

Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_2}\) y \(Q_2^\prime \)

De manera análoga se construyen más puntos

Al unir los puntos se obtiene el esbozo de una hipérbola cuyos focos son los puntos \({F_1}\) y \({F_2}.\)

Elementos y características de la hipérbola

La siguiente figura muestra otros elementos importantes de la elipse.

Elemento Descripción Ejemplo
Centro de la Hipérbola Punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \), donde \({F_1}\) y \({F_2}\) son los focos de la hipérbola. \(O\)
Eje Focal Es la recta que pasa por los focos \({V_1}\) y \({V_2}\)
Eje conjugado Línea recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola
Cuerda Segmento de recta que une dos puntos de la hipérbola \(\overline {P_3^\prime Q_1^\prime } \)
Cuerda Focal Cuerda que pasa por uno de los focos de la hipérbola \(\overline {PS} \)
Diámetro de la hipérbola Cuerda que pasa por el centro \(\overline {{P_3}Q_3^\prime } \)

Ecuaciones que modelan las Hipérbolas

Ecuaciones sobre la hipérbola con centro en el origen y eje focal respecto de uno de los ejes coordenados

Posición de la Hipérbola

Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( { – c,0} \right),\;{F_2}\left( {c,0} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( { – a,0} \right),\;{V_2}\left( {a,0} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(x\)

Ecuación de la hipérbola

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}.\)

Posición de la Hipérbola

Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {0, – c} \right),\;{F_2}\left( {0,c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {0, – a} \right),\;{V_2}\left( {0,a} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(y.\)

Ecuación de la hipérbola

\(\frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}\)

Ejemplos resueltos

1. Características de la Hipérbola

El eje focal está sobre el eje de las abscisas (eje de las \(x\)) la distancia entre sus focos es \(2c = 10\) y \(2b = 8\) y su centro está en el origen

Ecuación de la hipérbola

En este caso

\(b = 4,\;c = 5,\) por lo tanto:
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({a^2} + {4^2} = {5^2}\)
\({a^2} = 25 – 16\)\({a^2} = 9\)
\(a = 3\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Esbozo de la gráfica

2. Características de la Hipérbola

El eje focal está sobre el eje de las ordenadas (eje de las \(y\)), sus semi ejes son \(a = 6,\;b = 8\).

Ecuación de la hipérbola

En este caso

\(a = 4,\;b = 5,\) por lo tanto
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({6^2} + {8^2} = {c^2}\)
\(100 = {c^2}\)\(c = 10\)
\(\frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{8^2}}} = 1\)
\(\frac{{{y^2}}}{{36}} – \frac{{{x^2}}}{{64}} = 1\)

Esbozo de la gráfica

Ecuaciones de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados

Posición de la Hipérbola

Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h – c,k} \right),\;{F_2}\left( {h + c,k} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h – a,k} \right),\;{V_2}\left( {h + a,k} \right).\;\)Eje Focal: \(y = k\)

Ecuación de la hipérbola

\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Donde se cumple:

\({b^2} + a = {c^2}.\)

Posición de la Hipérbola

Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h,k – c} \right),\;{F_2}\left( {h,k + c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h,k – a} \right),\;{V_2}\left( {h,k + a} \right).\;\)Eje Focal \(x = h\)

Ecuación de la hipérbola

\(\frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Donde se cumple:

\({b^2} + {a^2} = {c^2}\)

Ejemplos resueltos

Características de la Hipérbola

Los focos son \({F_1}\left( { – 10,2} \right),\;{F_2}\left( {16,2} \right)\) y y la distancia entre los vértices es igual a 24.

Ecuación de la Hipérbola

En este caso: \(2c = {F_1}{F_2} = 26,\) por lo tanto: \(c = 13\)

\(2a = 24\)
\(a = 12\)
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
\({13^2} = {12^2} + {b^2}\)
\({b^2} = {13^2} – {12^2}\)
\({b^2} = 25\)

El centro de la elipse está en el punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \) el cual es \(C\left( {3,2} \right).\)

El eje focal es paralelo al eje de las \(x\).

\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\(\frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{{{12}^2}}} – \frac{{{{\left( {y – 2)} \right)}^2}}}{{{5^2}}} = 1\)

\(\frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{144}} – \frac{{{{\left( {y – 2} \right)}^2}}}{{25}} = 1\)

Esbozo de la gráfica

Características de la Hipérbola

El centro está en \(C\left( {2, – 2} \right),\) uno de sus focos es \(F\left( {2,6} \right)\) y uno de sus vértices es \(V\left( {2,4} \right)\).

Ecuación de la Hipérbola

En este caso: \(c = CF = 8;\) y a su vez \(a = CV = 6\)

Como
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
\({8^2} = {6^2} + {b^2}\)
\(28 = {b^2}\) \(28 = {b^2}\)

El eje focal es paralelo al eje de las \(y\).

\(\frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

\(\frac{{{{\left( {y – \left( { – 2} \right)} \right)}^2}}}{{36}} – \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{28}} = 1\)

\(\frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{{36}} – \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{28}} = 1\)

Esbozo de la gráfica

 
 
 
 
Por: Marco Antonio Rodríguez Andrade. Licenciatura en Física y Matemáticas, con Maestría en Matemáticas, ambos por la ESFM, y doctorado en Ciencias por la UNAM.
Art. actualizado: Nov. 2022; sobre el original de octubre, 2011.
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Rodríguez Andrade, M. A. (Nov. 2022). Definición de Hipérbola. DefinicionABC. Desde https://www.definicionabc.com/general/hiperbola.php