Definición de Hipérbola
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias
La hipérbola es una de las cónicas que se ha estudiado desde la época de los griegos, se ha aplicado en el diseño de engranes, y de edificios modernos con fines estéticas y funcionales. Cuando un cono recto es intersectado con un plano con un ángulo menor al ángulo entre el eje de simetría del cono y su generatriz, el resultado es una Hipérbola, este hecho, ya era conocido por los griegos y fue estudiado por Apolonio.
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) y \({F_2}\), a los cuales llamaremos Focos de la Hipérbola y una constante \(k > 0\); la Hipérbola con focos en los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\), es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas distancias a los puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) es igual a una constante \(k\), es decir:
\(\left| {P{F_1} – P{F_2}} \right| = k\)
Construcción de la elipse con regla y compás
Dados dos puntos fijos \({F_1}\) , \({F_2}\) y una constante \(k > 0\) podemos construir varios puntos que pertenezcan a la elipse que cumpla:
\(P{F_1} + P{F_2} = k;\)
Para ello es suficiente con realizar los siguientes pasos.
Situación inicial
Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_1}\) y \(P_1^\prime \).
La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_2}{P_1} – {F_1}{P_1} = k\)
\({F_2}P{^\prime_1} – {F_1}P{^\prime_1} = k\)
Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_1}\) y \(Q_1^\prime \)
Sobre el punto \({F_1}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_2}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({P_2}\) y \(P_2^\prime \).
La manera en que se eligieron los radios se garantiza:
\({F_2}{P_2} – {F_1}{P_2} = k\)
\({F_2}P{^\prime_2} – {F_1}P{^\prime_2} = k\)
Sobre el punto \({F_2}\) se traza un arco de circunferencia de radio \(B{C_1}\) (verde) y sobre \({F_1}\) una circunferencia de radio \(k + B{C_1}\) (azul). Se marcan las intersecciones de dichos arcos, en este caso \({Q_2}\) y \(Q_2^\prime \)
De manera análoga se construyen más puntos
Al unir los puntos se obtiene el esbozo de una hipérbola cuyos focos son los puntos \({F_1}\) y \({F_2}.\)
Elementos y características de la hipérbola
La siguiente figura muestra otros elementos importantes de la elipse.
| Elemento | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Centro de la Hipérbola | Punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \), donde \({F_1}\) y \({F_2}\) son los focos de la hipérbola. | \(O\) |
| Eje Focal | Es la recta que pasa por los focos | \({V_1}\) y \({V_2}\) |
| Eje conjugado | Línea recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola | |
| Cuerda | Segmento de recta que une dos puntos de la hipérbola | \(\overline {P_3^\prime Q_1^\prime } \) |
| Cuerda Focal | Cuerda que pasa por uno de los focos de la hipérbola | \(\overline {PS} \) |
| Diámetro de la hipérbola | Cuerda que pasa por el centro | \(\overline {{P_3}Q_3^\prime } \) |
Ecuaciones que modelan las Hipérbolas
Ecuaciones sobre la hipérbola con centro en el origen y eje focal respecto de uno de los ejes coordenados
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( { – c,0} \right),\;{F_2}\left( {c,0} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( { – a,0} \right),\;{V_2}\left( {a,0} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(x\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}.\)
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {0,0} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {0, – c} \right),\;{F_2}\left( {0,c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {0, – a} \right),\;{V_2}\left( {0,a} \right).\;\)Eje Focal: Eje \(y.\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}\)
Ejemplos resueltos
1. Características de la Hipérbola
El eje focal está sobre el eje de las abscisas (eje de las \(x\)) la distancia entre sus focos es \(2c = 10\) y \(2b = 8\) y su centro está en el origen
Ecuación de la hipérbola
En este caso
\(b = 4,\;c = 5,\) por lo tanto:
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({a^2} + {4^2} = {5^2}\)
\({a^2} = 25 – 16\)\({a^2} = 9\)
\(a = 3\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1\)
\(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
2. Características de la Hipérbola
El eje focal está sobre el eje de las ordenadas (eje de las \(y\)), sus semi ejes son \(a = 6,\;b = 8\).
Ecuación de la hipérbola
En este caso
\(a = 4,\;b = 5,\) por lo tanto
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
\({6^2} + {8^2} = {c^2}\)
\(100 = {c^2}\)\(c = 10\)
\(\frac{{{y^2}}}{{{6^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{8^2}}} = 1\)
\(\frac{{{y^2}}}{{36}} – \frac{{{x^2}}}{{64}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
Ecuaciones de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h – c,k} \right),\;{F_2}\left( {h + c,k} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h – a,k} \right),\;{V_2}\left( {h + a,k} \right).\;\)Eje Focal: \(y = k\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + a = {c^2}.\)
Posición de la Hipérbola
Centro en \(\left( {h,k} \right).\) Focos en \({F_1}\left( {h,k – c} \right),\;{F_2}\left( {h,k + c} \right).\) Vértices en \({V_1}\left( {h,k – a} \right),\;{V_2}\left( {h,k + a} \right).\;\)Eje Focal \(x = h\)
Ecuación de la hipérbola
\(\frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Donde se cumple:
\({b^2} + {a^2} = {c^2}\)
Ejemplos resueltos
Características de la Hipérbola
Los focos son \({F_1}\left( { – 10,2} \right),\;{F_2}\left( {16,2} \right)\) y y la distancia entre los vértices es igual a 24.
Ecuación de la Hipérbola
En este caso: \(2c = {F_1}{F_2} = 26,\) por lo tanto: \(c = 13\)
\(2a = 24\)
\(a = 12\)
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
\({13^2} = {12^2} + {b^2}\)
\({b^2} = {13^2} – {12^2}\)
\({b^2} = 25\)
El centro de la elipse está en el punto medio del segmento \(\overline {{F_1}{F_2}} \) el cual es \(C\left( {3,2} \right).\)
El eje focal es paralelo al eje de las \(x\).
\(\frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{{{12}^2}}} – \frac{{{{\left( {y – 2)} \right)}^2}}}{{{5^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}{{144}} – \frac{{{{\left( {y – 2} \right)}^2}}}{{25}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
Características de la Hipérbola
El centro está en \(C\left( {2, – 2} \right),\) uno de sus focos es \(F\left( {2,6} \right)\) y uno de sus vértices es \(V\left( {2,4} \right)\).
Ecuación de la Hipérbola
En este caso: \(c = CF = 8;\) y a su vez \(a = CV = 6\)
Como
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
\({8^2} = {6^2} + {b^2}\)
\(28 = {b^2}\) \(28 = {b^2}\)
El eje focal es paralelo al eje de las \(y\).
\(\frac{{{{\left( {y – k} \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{\left( {x – h} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {y – \left( { – 2} \right)} \right)}^2}}}{{36}} – \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{28}} = 1\)
\(\frac{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}}{{36}} – \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{28}} = 1\)
Esbozo de la gráfica
Art. actualizado: Nov. 2022; sobre el original de octubre, 2011.