Definición de Área (en Matemáticas-Geometría)
Licenciado en Física
El término área se utiliza en varias disciplinas y contextos como una medida de la extensión de una región o superficie en un espacio de dos dimensiones. Existen diversas unidades para medir área, no obstante, todas ellas parten de unidades para medir longitud.
La extensión de un terreno, el espacio abarcado por una cancha de fútbol, la distribución espacial de una población… Todos estos son ejemplos relativamente cotidianos del concepto de área. La medida de superficies es una parte fundamental del quehacer diario de nuestra especie y de la obtención de datos e información sobre el mundo que nos rodea. No obstante, en este texto abordaremos el concepto de área solamente visto desde las matemáticas y la geometría.
Noción del concepto de área: Área del cuadrado
Toda figura que existe en un espacio de dos dimensiones tiene una superficie que se extiende en una región delimitada de este espacio, esto es a lo que llamamos el “área” de la figura. Existen diferentes figuras geométricas cuyas áreas se pueden calcular a partir de las medidas de sus dimensiones.
La figura geométrica que nos permite ver mejor este concepto de área y cómo se calcula es el cuadrado. Un cuadrado es una figura geométrica de cuatro lados iguales paralelos entre sí y que forman ángulos rectos entre ellos. Supongamos que tenemos un cuadrado de lados \(l\) que miden \(n\) unidades \(u\).
Estas unidades pueden ser cualquiera de las que se utilizan para medir longitud, podemos decir entonces que \(l = nu\). Esto quiere decir que cada lado del cuadrado lo podemos dividir en \(n\) partes iguales que tienen una medida \(u\) cada una. Al hacer esto el cuadrado quedará dividido en cuadrados más pequeños y el área del cuadrado grande será igual al número total de cuadrados pequeños que están contenidos en este.
Podemos darnos cuenta que tenemos \(n\) filas de cuadrados pequeños con \(n\) cuadrados cada una, por lo tanto, el número total de cuadrados pequeños será \(n*n = {n^2}\). No obstante, esto es lo mismo que se obtiene al multiplicar las medidas de sus lados. Podemos decir entonces que:
\(A = {l^2}\)
El área de un cuadrado es la medida de sus lados elevada al cuadrado. En este ejercicio que acabamos de realizar, cada uno de los cuadrados pequeños en los que se dividió el cuadrado inicial puede considerarse una unidad de área. Por lo dicho anteriormente, cada uno de los cuadrados pequeños tendrá un área \({u^2}\), esta es la razón por cual estas unidades se llaman “unidades cuadradas”. Calcular el área de una figura consiste básicamente en dividirla en unidades cuadradas dependiendo de las unidades de longitud que estemos utilizando y calcular cuantas de estas unidades cuadradas hay en la figura.
Se utilizan diversas unidades de medida para expresar áreas dependiendo de las unidades de longitud que estemos utilizando para expresar longitudes. Por ejemplo, si en el ejemplo anterior las unidades que utilizamos para expresar la medida de los lados del cuadrado son metros (m), su área estará en metros cuadrados (m2). Aunque siempre es posible convertir de unas unidades a otras.
Áreas de algunas figuras geométricas
A continuación, mencionaremos cómo calcular el área de algunas figuras geométricas conocidas y que son muy comunes en la práctica.
Rectángulo
El cálculo del área de un rectángulo es muy parecido al utilizado para calcular el área de un cuadrado. Consideremos un rectángulo cuyo lado mayor mide \(L\) y cuyo lado menor mide \(l\). El área de este rectángulo será:
\(A = Ll\)
De hecho, podríamos decir que el cuadrado es un caso especial que ocurre cuando \(L = l\).
Triángulo
Consideremos un triángulo de base \(b\) cuya altura trazada perpendicularmente desde un punto de la base hasta el vértice que forman los dos lados restantes es \(h\). El área del triángulo estará dada por:
\(A = \frac{{bh}}{2}\)
Paralelogramo
Un paralelogramo está formado por dos pares de lados paralelos entre sí. Si un paralelogramo tiene una base \(b\) y una altura \(h\) que es perpendicular a su base y al lado paralelo a esta, su área estará dada por:
\(A = bh\)
Trapecio
Un trapecio es un cuadrilátero formado por un par de lados paralelos entre sí que se llaman “bases” y otro par de lados que no son paralelos entre sí. Supongamos un trapecio con bases \(B\) y \(b\), y con una altura \(h\) perpendicular a ambas bases, el área de este trapecio será:
\(A = \frac{{\left( {B + b} \right)h}}{2}\)
Rombo
Un rombo es un paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales, pero que, a diferencia del cuadrado, no forman ángulos rectos entre ellos. En un rombo podemos trazar dos diagonales que son perpendiculares entre sí y que unen a los vértices del rombo. El área de un rombo con diagonal mayor \(D\) y diagonal menor \(d\) se calcula de la siguiente manera:
\(A = \frac{{Dd}}{2}\)
Polígono regular
Un polígono regular es una figura geométrica cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. El cuadrado y el triángulo equilátero son ejemplos de polígono regulares. Otros polígonos regulares son el pentágono, el hexágono, el heptágono, etc. Supongamos que tenemos un polígono regular con perímetro \(P\) y un radio \(r\) que parte del centro del polígono y que es perpendicular a uno de sus lados. El área de este polígono será:
\(A = \frac{{Pr}}{2}\)
El perímetro de un polígono de \(n\) lados \(l\) está dado por: \(P = nl\), por lo tanto, el área de este polígono la podemos expresar también como:
\(A = \frac{{nlr}}{2}\)
Círculo
La distancia que existe entre el centro de un círculo y cualquier punto de su circunferencia se denomina “radio”. El área de un círculo de radio \(r\) está dada por la siguiente expresión:
\(A = \pi {r^2}\)
Art. actualizado: Oct. 2023; sobre el original de abril, 2009.
Referencias
Ronald S. Irving. (2004). Integers, Polynomials and Rings. New York: Springer.H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt, W. Süss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. H. Gould. (1983). Fundamentals of Mathematics: Volume II. Cambridge, Massachusetts and London: The MIT Press.