Definición de Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras determina que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En el triángulo \(ABC\) con ángulo recto en el vértice \(C\) se tiene:
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

Marco Antonio Rodríguez Andrade | Dic. 2022
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias

El Teorema de Pitágoras es uno de los más conocidos y se tienen registros que muestra que ya era usado en diferentes culturas antiguas a lo largo de la historia de la humanidad. Ha contribuido en el desarrollo de varias áreas de la Matemática como la Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo, etc.

Triángulos Rectángulos. Propiedades Básicas.

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, que mida 90° ( \(\frac{\pi }{2}\) radianes); los catetos constituyen los lados del ángulo recto, por su parte la hipotenusa comprende el lado en oposición al ángulo recto.

Los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo son ángulos complementarios, es decir si los ángulos no rectos miden \(\alpha \) y \(\beta \) entonces:

\(\alpha + \beta = 90^\circ \)

El triángulo rectángulo está inscrito en una circunferencia cuyo centro está en el punto medio de la hipotenusa y esta es un diámetro de dicha circunferencia.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras afirma lo siguiente:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos resulta igual al cuadrado de la hipotenusa. En el triángulo \(ABC\) con ángulo recto en el vértice \(C\) se tiene:

\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

Al situar un cuadrado sobre cada cateto, y en el mismo orden, uno sobre la hipotenusa, la suma de las áreas de ambos cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado situado sobre la hipotenusa; es decir:

\({A_1} + {A_2} = {A_3}\)

Lo mismo sucede si montamos sobre los catetos una semicircunferencia o un triángulo equilátero en cada uno de los catetos y otra semicircunferencia o triángulo equilátero sobre la hipotenusa

En las imágenes anteriores se cumple:\({A_1} + {A_2} = {A_3}\)

Ejemplos prácticos

El Teorema de Pitágoras permite saber la longitud de la hipotenusa si se conoce la longitud de los catetos.

Longitud de un cateto (\(a\)) Longitud del otro cateto (\(b\)) Longitud de la hipotenusa (\(c\))
1 1 \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \)
1 2 \(\sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \)
8 15 \(\sqrt {{8^2} + {{15}^2}} = \sqrt {289} = 17\)
7 5 \(\sqrt {{7^2} + {5^2}} = \sqrt {74} \)
40 9 \(\sqrt {{{40}^2} + {{41}^2}} = \sqrt {1681} = 41\)

En caso de que se conozca la longitud de la hipotenusa y de uno de los catetos, se puede saber la longitud del otro cateto al establecer la ecuación:

\({a^2} + {x^2} = {c^2}\)\({x^2} = {c^2} - {a^2}\)\(x = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \)

Longitud de un cateto (\(a\)) Longitud de la hipotenusa (\(c\)) Longitud del otro cateto (b)
1 2 \(\sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \)
8 15 \(\sqrt {{{15}^2} - {8^2}} = \sqrt {161} \)
65 16 \(\sqrt {{{65}^2} - {{16}^2}} = \sqrt {3969} = 63\)
28 53 \(\sqrt {{{53}^2} - {{28}^2}} = \sqrt {2025} = 45\)
29 20 \(\sqrt {{{29}^2} - {{20}^2}} = \sqrt {441} = 21\)

Recíproco del Teorema de Pitágoras

Se tienen registros que los agrimensores del antiguo Egipto usaban una cuerda con doce nudos igualmente espaciados y con ella formar un triángulo cuyos lados medían: 3,4,5 “nudos”, de este modo obtenían un triángulo rectángulo, sin saberlo, estaban usando el teorema llamado el recíproco del Teorema de Pitágoras, el cual dice:

Dado un triángulo cuyos lados miden \(a,b\) y \(c\), si se cumple la siguiente relación:

\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

Entonces el triángulo es rectángulo cuyo ángulo recto es opuesto al lado mide \(c\), o de manera equivalente, el ángulo recto está formado por los lados cuyas longitudes son \(a\) y \(b.\)

Como \({3^2} + {4^2} = {5^2}\) entonces se cumplen las condiciones del recíproco del Teorema de Pitágoras y estamos ante un triángulo rectángulo.

Lo anterior justifica que el método usado por los agrimensores del antiguo Egipto era correcto para formar un ángulo de 90°.

Ejemplos Prácticos

Para deducir si un triángulo es rectángulo, de preferencia, hay que ordenar de menor a mayor las medidas de sus lados; sumar los cuadrados de los dos lados menores y compararlo con el cuadrado del lado mayor.

Lado 1 Lado 2 Lado 3 \({a^2} + {b^2}\) \({c^2}\) Triángulo rectángulo
5 12 13 \({5^2} + {12^2} = 169\) \({13^2} = 169\)
5 10 14 \({5^2} + {10^2} = 125\) \({14^2} = 196\) No
7 24 25 \({7^2} + {24^2} = 625\) \({25^2} = 225\)
8 10 11 \({8^2} + {10^2} = 164\) \({11^2} = 121\) No
8 10 2\(\sqrt {41} \) \({8^2} + {10^2} = 164\) \({\left( {2\sqrt {41} } \right)^2} = 4\left( {41} \right) = 164\)

Triángulos especiales

Las escuadras escolares y profesionales suelen ser de diferentes tamaños, pero los ángulos siempre miden lo mismo -45°-45°-90° y la otra es de 30°-60°-90°.

Triángulo Rectángulo 45°-45°

De un cuadrado de lado \(a\), al trazar una de sus diagonales se obtienen dos triángulos rectángulos isósceles, mediante el teorema de Pitágoras encontraremos una relación entre la longitud del lado del cuadrado y la longitud de su diagonal.

Por el Teorema de Pitágoras:

\({a^2} + {a^2} = {d^2}\)\(2{a^2} = {d^2}\)\(\sqrt 2 a = d\)

Triángulo Rectángulo 30°-60°

De un triángulo equilátero de lado \(2a\), al trazar una de sus alturas se obtienen dos triángulos rectángulos que tienen las mismas medidas, mediante el teorema de Pitágoras encontraremos una relación entre la longitud del lado del triángulo equilátero de lado \(2a\) y la longitud de su altura.

Por el Teorema de Pitágoras:

\({a^2} + {h^2} = {\left( {2a} \right)^2}\)\({a^2} + {h^2} = 4{a^2}\)\({h^2} = 3{a^2}\)\(h = \sqrt 3 a\)

 
 
 
 
Por: Marco Antonio Rodríguez Andrade. Licenciatura en Física y Matemáticas, con Maestría en Matemáticas, ambos por la ESFM, y doctorado en Ciencias por la UNAM.
Art. actualizado: Dic. 2022; sobre el original de noviembre, 2011.
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Rodríguez Andrade, M. A. (Dic. 2022). Definición de Teorema de Pitágoras. Definición ABC. Desde https://www.definicionabc.com/ciencia/teorema-de-pitagoras.php
 
 
 
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