Definición de Progresión Aritmética

Una secuencia de números \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) es llamada una progresión aritmética si la diferencia entre dos números consecutivos es igual a un mismo número \(d\), es decir si:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

El número \(d\) es llamado la diferencia de la progresión aritmética.

El elemento \({a_1}\) es llamado el primer elemento de la progresión aritmética.

Marco Antonio Rodríguez Andrade | Nov. 2022
Maestría en Matemáticas, Dr. en Ciencias

Los elementos de la progresión aritmética se pueden expresar en términos del primer elemento y de su diferencia, es decir:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Son los primeros cuatro elementos de la progresión aritmética; en general, el \(k - \)ésimo elemento queda expresado de la siguiente manera:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k - 1} \right)d\)

de la expresión anterior se obtiene:

\({a_k} - {a_l} = {a_1} + \left( {k - 1} \right)d - \left( {{a_1} + \left( {l - 1} \right)d} \right)\)

\({a_k} - {a_l} = \left( {k - l} \right)d\)

La expresión anterior es equivalente a:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k - l} \right)d\)

Ejemplos aplicados para progresión aritmética

1. Hallar la diferencia de la progresión aritmética: \(3,8,13,18, \ldots \) y encontrar los elementos \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Solución

Como \(5 = 8 - 3 = 13 - 8 = 18 - 3\) podemos concluir que la diferencia es:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 - 1} \right)d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 - 1} \right)d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. En una progresión aritmética se tiene: \({a_{17}} = 20\;\)y \({a_{29}} = - 130\), determinar la diferencia de la progresión aritmética y escribir los primeros 5 elementos.

Solución

Usando

\({a_k} - {a_l} = \left( {k - l} \right)d\)

\({a_{29}} - {a_{17}} = \left( {29 - 17} \right)d\)

\( - 130 - 20 = \left( {12} \right)d\)

\( - 150 = \left( {12} \right)d\)

\(12d = - 150\)

\(d = - \frac{{150}}{{12}} = - \frac{{25}}{2}\)

Para encontrar los primeros 5 elementos; calcularemos \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k - 1} \right)d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 - 1} \right)\left( { - \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { - \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} - 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Los primeros 5 elementos son:

\(220,220 + \left( { - \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { - \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3\left( { - \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { - \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Números poligonales y la suma de los primeros \(n\) elementos de una progresión aritmética

Números triangulares

Los números triangulares \({T_n}\;\)se forman a partir de la progresión aritmética: \(1,2,3,4 \ldots \); de la siguiente manera.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

Números cuadrados

Los números cuadrados \({C_n}\;\)se forman a partir de la progresión aritmética: \(1,3,5,7 \ldots \); de la siguiente manera

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

Números pentagonales

Los números cuadrados \({P_n}\;\)se forman a partir de la progresión aritmética: \(1,3,5,7 \ldots \); de la siguiente manera

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

A continuación, mostraremos la fórmula para encontrar la suma de los primeros \(n\) elementos de una progresión aritmética.

Dada la progresión aritmética, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d\). Para calcular la suma \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) se puede usar la fórmula:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

La cual es equivalente a

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)

Aplicando la fórmula anterior, se obtienen las fórmulas para calcular los números triangulares, cuadrados y pentagonales; las cuales se muestran en la siguiente tabla.

Número poligonal \({a_1}\) \(d\) Fórmula
Triangular \(n - \)ésimo 1 1 \({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Cuadrado \(n - \)ésimo 1 2 \({C_n} = {n^2}\)
Pentagonal \(n - \)ésimo 1 3 \({P_n} = \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)

Ejemplo sobre números poligonales

3. Del ejemplo 2 calcular \({S_{33}}\).

Solución

En este caso \({a_1} = 200\) y \(d = - \frac{{25}}{2}\)

Aplicando

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 - 1} \right)\left( { - \frac{{25}}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { - 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

Medios aritméticos

Dados dos números \(a\;\)y \(b,\) los números \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) son llamados \(k\) medios aritméticos de los números \(a\;\)y \(b\); si la secuencia \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) es una progresión aritmética.

Para saber los valores de los \(k\) medios aritméticos de los números \(a\;\)y \(b\), basta con conocer la diferencia de la progresión aritmética, para ello hay que considerar, lo siguiente:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

de lo anterior establecemos la relación:

\(b = a + \left( {k + 2 - 1} \right)d\)

Al despejar \(d\), se obtiene:

\(d = \frac{{b - a}}{{k + 1}}\)

Ejemplos

4. Hallar 7 medias aritméticas entre los números -5 y 25.

Solución

Al aplicar

\(d = \frac{{b - a}}{{k + 1}}\)

con \(b = 25,\;a = - 5\) y \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 - \left( { - 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4}\)

Las 7 medias aritméticas son:

\( - \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Una persona, para comprar un refrigerador, dio $2000, como enganche y el resto lo pagó con su tarjeta de crédito a 18 meses sin intereses. Al mes debe pagar $550 al mes para saldar la deuda, que adquirió para pagar su refrigerador.

a. ¿Cuál es el costo del refrigerador?

b. En caso de haber pagado el resto a 12 meses sin intereses, de cuánto sería la mensualidad.

Solución

a. En este caso:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left( {550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Entre los números 2000 y 11900 debemos encontrar 11 medias aritméticas, por lo cual:

\(d = \frac{{11900 - 2000}}{{12}} = 825\)

5. Dada la secuencia \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) encontrar los siguientes 3 elementos y la expresión general del elemento \(n\).

Solución

La secuencia en cuestión no es una progresión aritmética, pues \(22 - 7 \ne 45 - 22\) , pero podemos formar una secuencia con las diferencias de dos elementos consecutivos y la siguiente tabla muestra los resultados:

Elementos de la secuencia \({b_n}\) Secuencia \(\;{c_n} = {b_n} - {b_{n - 1}}\) \(d = {c_{n + 1}} - {c_n}\)
\({b_1} = 7\) \({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\) \({c_2} = {b_2} - {b_1} = 15\) \({c_2} - {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\) \({c_3} = {b_3} - {b_2} = \)23 \({c_3} - {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\) \({c_4} = {b_4} - {b_3} = 31\) \({c_4} - {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\) \({c_5} = {b_5} - {b_4} = 39\) \({c_5} - {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\) \({c_6} = {b_6} - {b_5} = 47\) \({c_6} - {c_5} = 8\)

La tercera columna de la tabla anterior nos indica que la secuencia \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); es una secuencia aritmética cuya diferencia es \(d = 8\).

A continuación, escribiremos a los elementos de la secuencia \({b_n}\) en términos de la secuencia \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

En general se tiene:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Al aplicar

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\)

Con \({c_1} = 7\) y \(d = 8,\) obtenemos:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n - 1} \right)8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n - 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\left( {4n + 3} \right)\)

Al aplicar la fórmula anterior: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)

 
 
 
 
Por: Marco Antonio Rodríguez Andrade. Licenciatura en Física y Matemáticas, con Maestría en Matemáticas, ambos por la ESFM, y doctorado en Ciencias por la UNAM.
Trabajo publicado en: Nov., 2022.
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Rodríguez Andrade, M. A. (noviembre, 2022). Definición de Progresión Aritmética. Definición ABC. Desde https://www.definicionabc.com/ciencia/progresion.php
 
 
 
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